
\begin{eqnarray*} \displaystyle \sigma^2 &=& \sum_{i=1}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \\ &=& \sum_{|x_i-\mu| < k\sigma}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} + \sum_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \\ \Leftrightarrow \sigma^2 &\geq& \sum_{|x_i-\mu| \geq k\sigma}{(x_i-\mu)^2f(x_i)} \end{eqnarray*}

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\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{1}{k^2\sigma^2} \times \sigma^2 &\geq& \frac{1}{k^2\sigma^2} \times k^2 \sigma^2 P(|x_i-\mu| \geq k\sigma) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{k^2} &\geq& P(|x_i-\mu| \geq k\sigma) \end{eqnarray*}

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\displaystyle \sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty}{(x_i-\mu)^2f(x_i)}

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\displaystyle P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \\ \Leftrightarrow P(|X-\mu| \leq k\sigma) \geq 1-\frac{1}{k^2} \\

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\displaystyle P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}

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\displaystyle P(|X-3| \geq \sqrt{1}k) \leq \frac{1}{k^2} \\ \Leftrightarrow P(|X-3| \geq k) \leq \frac{1}{k^2} \\

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Yahoo!知恵袋数学の問題です。
180-5a^2
を因数分解しなさい。
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