Images of フェルミ分布関数

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大分配関数によるフェルミ粒子とボーズ粒子の分布関数の導出

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$\begin{eqnarray*} f(E)=\frac{1}{1+\exp{\left( \frac{E-E_{\rm Fermi}}{k_{\rm B}T} \right)}} \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} f(E)=\frac{1}{1+\exp{\left( \frac{E-E_{\rm Fermi}}{k_{\rm B}T} \right)}} \end{eqnarray*}

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$\begin{eqnarray*} U_{\rm el}&=& \int_{-\infty}^{E_{\rm F}(T)} E'D(E')\,dE' + \frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T) \frac{d(ED(E))}{dE}\big|_{E=E_{\rm F}(T)}+\cdots\\ &=& \int_{-\infty}^{E_{\rm F}(T)} E'D(E')\,dE' +\frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T) \Bigg[ D(E_{\rm F}(T)) +E\frac{dD(E)}{dE}\big|_{E=E_{\rm F}(T)}\Bigg] + \cdots\\ &=& \int_{-\infty}^{E_{\rm F}(T)} E'D(E')\,dE' +\frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T) D(E_{\rm F}(T))\\ &&\quad +\frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T) E\frac{dD(E)}{dE}\big|_{E=E_{\rm F}(T)} + \cdots\quad \quad \quad\quad(1) \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} U_{\rm el}&=& \int_{-\infty}^{E_{\rm F}(T)} E'D(E')\,dE' + \frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T) \frac{d(ED(E))}{dE}\big|_{E=E_{\rm F}(T)}+\cdots\\ &=& \int_{-\infty}^{E_{\rm F}(T)} E'D(E')\,dE' +\frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T) \Bigg[ D(E_{\rm F}(T)) +E\frac{dD(E)}{dE}\big|_{E=E_{\rm F}(T)}\Bigg] + \cdots\\ &=& \int_{-\infty}^{E_{\rm F}(T)} E'D(E')\,dE' +\frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T) D(E_{\rm F}(T))\\ &&\quad +\frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T) E\frac{dD(E)}{dE}\big|_{E=E_{\rm F}(T)} + \cdots\quad \quad \quad\quad(1) \end{eqnarray*}