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\begin{align*} \text{AB} \cdot \text{AD} &= \frac{\sqrt{2}}{6} \times 2 \times \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \\ &=\frac{4}{3} \frac{1}{\sqrt{3}+1} =\frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}-1}{2} \\ &=\bm{\frac{2\sqrt{3} -2}{3} } \end{align*}