Images of ブリルアンの定理

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$\begin{eqnarray*}&&\frac{2J+1}{2J}{\rm coth}\left(\frac{2J+1}{2J}x\right)\\ \\=&&\frac{2J+1}{2J}\Bigl[ \frac{2J}{2J+1}\,\frac{1}{x} + \frac{1}{3}\,\frac{2J+1}{2J}\,x+O(x^3)\Bigr]\\ \\=&&\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\Bigl( \frac{2J+1}{2J} \Bigr)^2 \,x + O(x^3) \quad \cdots (1)\end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*}&&\frac{2J+1}{2J}{\rm coth}\left(\frac{2J+1}{2J}x\right)\\ \\=&&\frac{2J+1}{2J}\Bigl[ \frac{2J}{2J+1}\,\frac{1}{x} + \frac{1}{3}\,\frac{2J+1}{2J}\,x+O(x^3)\Bigr]\\ \\=&&\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\Bigl( \frac{2J+1}{2J} \Bigr)^2 \,x + O(x^3) \quad \cdots (1)\end{eqnarray*}

定理の内容

ブリルアン関数（グラフ）

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$\begin{eqnarray*} {\bf b}_2\times{\bf b}_3&=& {\bf b}_2\times\left( 2\pi \frac{{\bf a}_1 \times {\bf a}_2}{{\bf a}_3\cdot({\bf a}_1 \times {\bf a}_2)} \right)\\\\ &=& \frac{2\pi}{\textcolor{red}{\Omega_{\rm WZ}}}\, {\bf b}_2\times\left({\bf a}_1 \times {\bf a}_2 \right) \\ \\ &=& \frac{2\pi}{\Omega_{\rm WZ}}\,\left( {\bf a}_1({\bf b}_2\cdot{\bf a}_2)- {\bf a}_2({\bf b}_2\cdot{\bf a}_1)\right) \\ \\ &=& \frac{2\pi}{\Omega_{\rm WZ}}\, (2\pi{\bf a}_1 \delta_{22} -2\pi{\bf a}_2 \delta_{21} )\\ \\ &=& \frac{(2\pi)^2}{\Omega_{\rm WZ}}{\bf a}_1 \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} {\bf b}_2\times{\bf b}_3&=& {\bf b}_2\times\left( 2\pi \frac{{\bf a}_1 \times {\bf a}_2}{{\bf a}_3\cdot({\bf a}_1 \times {\bf a}_2)} \right)\\\\ &=& \frac{2\pi}{\textcolor{red}{\Omega_{\rm WZ}}}\, {\bf b}_2\times\left({\bf a}_1 \times {\bf a}_2 \right) \\ \\ &=& \frac{2\pi}{\Omega_{\rm WZ}}\,\left( {\bf a}_1({\bf b}_2\cdot{\bf a}_2)- {\bf a}_2({\bf b}_2\cdot{\bf a}_1)\right) \\ \\ &=& \frac{2\pi}{\Omega_{\rm WZ}}\, (2\pi{\bf a}_1 \delta_{22} -2\pi{\bf a}_2 \delta_{21} )\\ \\ &=& \frac{(2\pi)^2}{\Omega_{\rm WZ}}{\bf a}_1 \end{eqnarray*}