Images of ブリルアン関数とランジュバン関数

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一次関数　二次関数

指数関数と対数関数の積分ランダム15題（標準レベル）

IF関数とVLOOKUP関数・LOOKUP関数を組み合わせて使う方法

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$\begin{eqnarray*}B_J(x)&=&\frac{1}{3}\Bigl( \frac{2J+1}{2J} \Bigr)^2 \,x -\frac{1}{3}\Bigl( \frac{1}{2J} \Bigr)^2 \,x + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\Bigl[ \left( \frac{2J+1}{2J} \right)^2 - \left( \frac{1}{2J} \right)^2 \Bigr] + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \left( \frac{1}{2J}\right)^2 \Bigl[ (2J+1)^2 - 1 \Bigr]+ O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \frac{1}{4J^2} \, (4J^2 + 4J) + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \frac{1}{4J^2} \, 4J(J+1) + O(x^3) \\ \\&=&\frac{J+1}{3J}+O(x^3)\end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*}B_J(x)&=&\frac{1}{3}\Bigl( \frac{2J+1}{2J} \Bigr)^2 \,x -\frac{1}{3}\Bigl( \frac{1}{2J} \Bigr)^2 \,x + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\Bigl[ \left( \frac{2J+1}{2J} \right)^2 - \left( \frac{1}{2J} \right)^2 \Bigr] + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \left( \frac{1}{2J}\right)^2 \Bigl[ (2J+1)^2 - 1 \Bigr]+ O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \frac{1}{4J^2} \, (4J^2 + 4J) + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \frac{1}{4J^2} \, 4J(J+1) + O(x^3) \\ \\&=&\frac{J+1}{3J}+O(x^3)\end{eqnarray*}

ブリルアン関数の導出／キュリー則

VBA技術解説IfステートメントとIIF関数とMax関数の速度比較

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一週間で身につくC++言語の基本

図3

INDEX関数とMATCH関数の組み合わせ

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一次関数の利用　問題　動点

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関数と引数、戻り値の解説

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関数に置き換えたプログラム

FIND関数とSEARCH関数の2つの違い

（７０）INDEX関数とMATCH関数♪行列の一致したデータを求める♪

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偶関数・奇関数の定積分

アイキャッチ_関数とは」をわかりやすく解説

固体電子物性特論

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ブリルアン関数を使った導出

ランジュバン関数を使った導出

$\begin{eqnarray*} M&=&Ng\mu_B J\frac{d}{dx}\ln{\left[ \textcolor{red}{\sum_{J_z=-J}^{J} \exp{\left(-\frac{xJ_z}{J}\right)} }\right]}\\\\\\ &=& Ng\mu_B J\frac{d}{dx}\ln{\left[ \textcolor{red}{ \frac{\sinh{\left(\frac{2J+1}{2J}x\right)}}{\sinh{\left(\frac{x}{2J}\right)}} }\right]}\\\\\\ &=& Ng\mu_B J\left\{ \frac{d}{dx}\ln{\left[ \sinh{\left(\frac{2J+1}{2J}x\right)}}\right]} -\frac{d}{dx}\ln{\left[ \sinh{\left(\frac{x}{2J}\right)} }\right] \right\}\\\\\\ &=& Ng\mu_B J\left[ \frac{2J+1}{2J}\coth{\left(\frac{2J+1}{2J}x\right)}} - \frac{1}{2J}\coth{\left(\frac{x}{2J}\right)} \right]\\\\\\ &=& Ng\mu_B J B_J(x) \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} M&=&Ng\mu_B J\frac{d}{dx}\ln{\left[ \textcolor{red}{\sum_{J_z=-J}^{J} \exp{\left(-\frac{xJ_z}{J}\right)} }\right]}\\\\\\ &=& Ng\mu_B J\frac{d}{dx}\ln{\left[ \textcolor{red}{ \frac{\sinh{\left(\frac{2J+1}{2J}x\right)}}{\sinh{\left(\frac{x}{2J}\right)}} }\right]}\\\\\\ &=& Ng\mu_B J\left\{ \frac{d}{dx}\ln{\left[ \sinh{\left(\frac{2J+1}{2J}x\right)}}\right]} -\frac{d}{dx}\ln{\left[ \sinh{\left(\frac{x}{2J}\right)} }\right] \right\}\\\\\\ &=& Ng\mu_B J\left[ \frac{2J+1}{2J}\coth{\left(\frac{2J+1}{2J}x\right)}} - \frac{1}{2J}\coth{\left(\frac{x}{2J}\right)} \right]\\\\\\ &=& Ng\mu_B J B_J(x) \quad \blacksquare \end{eqnarray*}

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$\begin{eqnarray*} M=Ng\mu_B J\cdot\frac{J+1}{3J}=N(g\mu_B)^2 \frac{J(J+1)}{3k_{\rm B}T}H\\\\ \Rightarrow \chi=\frac{M}{H}=N(g\mu_B)^2 \frac{J(J+1)}{3k_{\rm B}}\textcolor{red}{\frac{1}{T}} \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} M=Ng\mu_B J\cdot\frac{J+1}{3J}=N(g\mu_B)^2 \frac{J(J+1)}{3k_{\rm B}T}H\\\\ \Rightarrow \chi=\frac{M}{H}=N(g\mu_B)^2 \frac{J(J+1)}{3k_{\rm B}}\textcolor{red}{\frac{1}{T}} \end{eqnarray*}

$\begin{eqnarray*}\lambda_0 &=& \frac{1.24}{100} \\ \\&=& 0.0124 \; {\rm [nm]}\end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*}\lambda_0 &=& \frac{1.24}{100} \\ \\&=& 0.0124 \; {\rm [nm]}\end{eqnarray*}

$\begin{eqnarray*}L(x)&=&\coth{x}-\frac{1}{x} \\\\ L(x)&\sim&\frac{x}{3} \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*}L(x)&=&\coth{x}-\frac{1}{x} \\\\ L(x)&\sim&\frac{x}{3} \end{eqnarray*}

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p(x)の確率密度関数

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二次関数のグラフの対称移動

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$\begin{eqnarray*}&&\frac{1}{2J}{\rm coth}\left(\frac{1}{2J}x\right)\\ \\=&&\frac{1}{2J}\Bigl[ \frac{2J}{x} + \frac{1}{3}\,\frac{x}{2J}+O(x^3)\Bigr]\\ \\=&&\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\Bigl( \frac{1}{2J} \Bigr)^2 \,x + O(x^3) \quad \cdots (2)\end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*}&&\frac{1}{2J}{\rm coth}\left(\frac{1}{2J}x\right)\\ \\=&&\frac{1}{2J}\Bigl[ \frac{2J}{x} + \frac{1}{3}\,\frac{x}{2J}+O(x^3)\Bigr]\\ \\=&&\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\Bigl( \frac{1}{2J} \Bigr)^2 \,x + O(x^3) \quad \cdots (2)\end{eqnarray*}

$\begin{eqnarray*} {\rm ln}(\sigma_1)&=& {\rm ln}(\sigma_0)-\frac{1}{2k_B T_1} \frac{2k_B T_1 T_2}{T_2 - T_1}\Bigl[ {\rm ln}(\sigma_2)-{\rm ln}(\sigma_1) \Bigr]\\ &=&{\rm ln}(\sigma_0) - \frac{T_2}{T_2 - T_1}\Bigl[ {\rm ln}(\sigma_2)-{\rm ln}(\sigma_1) \Bigr]\\ \leftrightarrow {\rm ln}(\sigma_0) &=& {\rm ln}(\sigma_1) + \frac{T_2}{T_2 - T_1}\Bigl[ {\rm ln}(\sigma_2)-{\rm ln}(\sigma_1) \Bigr]\\ &=& \frac{T_2 {\rm ln}(\sigma_2) -T_1 {\rm ln}(\sigma_1)}{T_2 - T_1} \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} {\rm ln}(\sigma_1)&=& {\rm ln}(\sigma_0)-\frac{1}{2k_B T_1} \frac{2k_B T_1 T_2}{T_2 - T_1}\Bigl[ {\rm ln}(\sigma_2)-{\rm ln}(\sigma_1) \Bigr]\\ &=&{\rm ln}(\sigma_0) - \frac{T_2}{T_2 - T_1}\Bigl[ {\rm ln}(\sigma_2)-{\rm ln}(\sigma_1) \Bigr]\\ \leftrightarrow {\rm ln}(\sigma_0) &=& {\rm ln}(\sigma_1) + \frac{T_2}{T_2 - T_1}\Bigl[ {\rm ln}(\sigma_2)-{\rm ln}(\sigma_1) \Bigr]\\ &=& \frac{T_2 {\rm ln}(\sigma_2) -T_1 {\rm ln}(\sigma_1)}{T_2 - T_1} \end{eqnarray*}