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分数関数と無理関数のグラフ/漸近線/平行移動と方程式・不等式の解法

$\begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= E\left[e^{i\xi X}\right] \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \; e^{i\xi x} \; dx \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \cdot \exp\left\{i\xi x \right\} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x \right\}} \; dx \\ \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= E\left[e^{i\xi X}\right] \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \; e^{i\xi x} \; dx \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \cdot \exp\left\{i\xi x \right\} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x \right\}} \; dx \\ \end{eqnarray*}

いろいろな一変数関数の形はじめに最後に

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$\begin{equation*} \Phi_X(\xi) = E\left[e^{i\xi X}\right] = \int_S f_X(x)e^{i\xi x} dx \end{equation*}$

\begin{equation*} \Phi_X(\xi) = E\left[e^{i\xi X}\right] = \int_S f_X(x)e^{i\xi x} dx \end{equation*}

特性関数 AkはfがAを定義域とする単関数の時、A上でf（x)=ckなる点全体の集合を表します。特

指数関数のグラフ形状は観察範囲で大きく変わる

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フィードバック(帰還)系の安定判別(2)

$分数関数のグラフ反比例と平行移動$

分数関数のグラフ反比例と平行移動

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Processing 入門

正規分布の積率母関数(モーメント母関数)・特性関数

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ゲームを動かすデータ分析ゲームを動かすデータ分析

$\begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 \right]} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A z^2 \right]} \; dx \quad \left( z:= x - \frac{B}{A} \right)\\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{A}} \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A \left\{ x - \frac{B}{A} \right\}^2 \right]} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -A z^2 \right]} \; dx \quad \left( z:= x - \frac{B}{A} \right)\\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left[ \frac{B^2}{A} -A \mu^2 \right]} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{A}} \end{eqnarray*}