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Juliaで学ぶ確率変数(3) - 幾何分布(離散型)1.幾何分布 Ge(p)

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反比例っぽいグラフはどのようにして生まれるのか?前略反比例のグラフ草々
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p=0.1,0.3,0.5,0.7と変えたときの,幾何分布の確率(質量)関数の違い

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様々な確率分布

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\begin{eqnarray*} P(X=k)=(1-p)^{k-1} p & (k=1,2,3,\cdots) \\ \end{eqnarray*}

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![\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2]-(1-p)E[X^2] &=& pE[X^2] \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - (1-p)\sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x+1} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 3 \times (1-p)^{1} + 5 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ && - \left\{ 1 \times (1-p)^{1} + 3 \times (1-p)^{2} + 5 \times (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 2 \times (1-p)^{1} + 2 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& 1 + 2 \times \sum_{x=1}^n (1-p)^{x} \\ \end{eqnarray*}](https://bellcurve.jp/statistics/wp-body/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c324430bc575ce6f0fb2f9136bd6400e_l3.png)
\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2]-(1-p)E[X^2] &=& pE[X^2] \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - (1-p)\sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x+1} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 3 \times (1-p)^{1} + 5 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ && - \left\{ 1 \times (1-p)^{1} + 3 \times (1-p)^{2} + 5 \times (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 2 \times (1-p)^{1} + 2 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& 1 + 2 \times \sum_{x=1}^n (1-p)^{x} \\ \end{eqnarray*}

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練習問題 : モンテカルロ統計計算 Chapter 5 ギブスサンプリング

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超幾何分布超幾何分布 (hypergeometric distribution)ざっくりした説明二項分布との関係確率分布であることの確認期待値の導出分散の導出参考

\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(t) &=& \frac{pe^t\{1-e^t(1-p)\}^2+pe^t \times 2\{1-e^t(1-p)\} \times e^t(1-p)}{\{1-e^t(1-p)\}^4} \end{eqnarray*}

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