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幾何分布とは？期待値（平均）や分散の証明はどうなるか例題を用いて解説

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Juliaで学ぶ確率変数(3) - 幾何分布（離散型）１．幾何分布 Ge(p)

幾何分布の期待値(平均)・分散・標準偏差とその導出証明

デミング博士のニューエコノミクスって

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反比例っぽいグラフはどのようにして生まれるのか？前略反比例のグラフ草々

幾何分布の定義と性質まとめ

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幾何分布の母数推定における予測推定量

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幾何分布

p=0.1,0.3,0.5,0.7と変えたときの，幾何分布の確率(質量)関数の違い

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天井付きガシャの期待値（上限付き？幾何分布）について

幾何分布

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幾何分布とは？期待値（平均）や分散の証明はどうなるか例題を用いて解説

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=(1-p)^{k-1} p & (k=1,2,3,\cdots) \\ \end{eqnarray*}$

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幾何分布【統計検定準１級のための数学①】

超幾何分布

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幾何分布の具体例と期待値，無記憶性について

$\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2]-(1-p)E[X^2] &=& pE[X^2] \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - (1-p)\sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x+1} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 3 \times (1-p)^{1} + 5 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ && - \left\{ 1 \times (1-p)^{1} + 3 \times (1-p)^{2} + 5 \times (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 2 \times (1-p)^{1} + 2 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& 1 + 2 \times \sum_{x=1}^n (1-p)^{x} \\ \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2]-(1-p)E[X^2] &=& pE[X^2] \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - (1-p)\sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x+1} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 3 \times (1-p)^{1} + 5 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ && - \left\{ 1 \times (1-p)^{1} + 3 \times (1-p)^{2} + 5 \times (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 2 \times (1-p)^{1} + 2 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& 1 + 2 \times \sum_{x=1}^n (1-p)^{x} \\ \end{eqnarray*}

13-7. 超幾何分布

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負の超幾何分布とは？わかりやすく解説

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超幾何分布超幾何分布 (hypergeometric distribution)ざっくりした説明二項分布との関係確率分布であることの確認期待値の導出分散の導出参考

$\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(t) &=& \frac{pe^t\{1-e^t(1-p)\}^2+pe^t \times 2\{1-e^t(1-p)\} \times e^t(1-p)}{\{1-e^t(1-p)\}^4} \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(t) &=& \frac{pe^t\{1-e^t(1-p)\}^2+pe^t \times 2\{1-e^t(1-p)\} \times e^t(1-p)}{\{1-e^t(1-p)\}^4} \end{eqnarray*}