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Juliaで学ぶ確率変数(3) - 幾何分布(離散型)1.幾何分布 Ge(p)
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反比例っぽいグラフはどのようにして生まれるのか?前略反比例のグラフ草々
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p=0.1,0.3,0.5,0.7と変えたときの,幾何分布の確率(質量)関数の違い
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\begin{eqnarray*} P(X=k)=(1-p)^{k-1} p & (k=1,2,3,\cdots) \\ \end{eqnarray*}
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\begin{eqnarray*} \displaystyle E[X^2]-(1-p)E[X^2] &=& pE[X^2] \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - (1-p)\sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} \\ &=& \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x} - \sum_{x=0}^n (2x+1)(1-p)^{x+1} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 3 \times (1-p)^{1} + 5 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ && - \left\{ 1 \times (1-p)^{1} + 3 \times (1-p)^{2} + 5 \times (1-p)^{3} + \dots \right\} \\ &=& \left\{ 1 \times (1-p)^{0} + 2 \times (1-p)^{1} + 2 \times (1-p)^{2} + \dots \right\} \\ &=& 1 + 2 \times \sum_{x=1}^n (1-p)^{x} \\ \end{eqnarray*}
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練習問題 : モンテカルロ統計計算 Chapter 5 ギブスサンプリング
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超幾何分布超幾何分布 (hypergeometric distribution)ざっくりした説明二項分布との関係確率分布であることの確認期待値の導出分散の導出参考
\begin{eqnarray*} \displaystyle M''_X(t) &=& \frac{pe^t\{1-e^t(1-p)\}^2+pe^t \times 2\{1-e^t(1-p)\} \times e^t(1-p)}{\{1-e^t(1-p)\}^4} \end{eqnarray*}
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