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\begin{eqnarray*} &&\Phi_X(\xi) \\ &&= E\left[e^{i\xi X}\right] \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \; e^{i\xi x} \; dx \\ &&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}} \cdot \exp\left\{i\xi x \right\} \; dx \\ &&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} + i\xi x \right\}} \; dx \\ \end{eqnarray*}
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\begin{eqnarray*} A&:=& \frac{1}{2\sigma^2} \\ B&:=& A\mu + i \frac{\xi}{2} = \frac{\mu}{2\sigma^2} + i \frac{\xi}{2} \end{eqnarray*}
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