![R は可換環で乗法の単位元をもつものとする.R の任意のイデ アルの減少列 I1 ⊃I2 ⊃I3 ⊃··· に対して In =In+1 =··· となる n が存在するとき,R をArtin 環という.R が Artin 環であるとき,以下の命題が成り立つことを証明せよ.(1) f : R → S が全射環準同型ならば,S も Artin 環である. (2) R が整域ならば,R は体である.証明[堀田良之]環と体1p61SのイデアルIに対し、𝑓−1 𝐼 もイデアルであることに従う。(2) R が整域ならば,R は体である.証明RがArtin整域で0 ≠ a ∈ Rなら,(an) = (an+1)となる整数n > 0が存在し,ある (x ∈ A) に対し an = xan+1 となり,an(1 − ax) = 0,即ち 1 = ax が得られ,R は体であるこ とが従う。(3) R の素イデアルは極大イデアルである.[堀田良之]環と体1p５８f:R→R/I、f(a)=a+Iと定めると、fは全射環準同型写像である。よって(1)よりR/Iはアルティン環である。また、IをRの素イデアルとすると、剰余環R/Iは整域である。いま(2)より、R/Iは体である。このことは、Iが極大イデアルであることと同値である。ゆえに、IはRの極大イデアルである。(4) R の異なる素イデアルの個数は有限である[堀田良之]環と体1p５８](https://image.slidesharecdn.com/artinkan-180310230452/85/artin-1-320.jpg?cb=1668589188)
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