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位相空間とボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件

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ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件

ゾンマーフェルト展開

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} H(E)f(E) dE= G(\mu) + \frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T)^2 \frac{dH(E)}{dE}\big|_{E=\mu} + \frac{7\pi^4}{360}(k_{\rm B}T)^4\frac{d^3 H(E)}{dE^3}\big|_{E=\mu} + \cdots \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} H(E)f(E) dE= G(\mu) + \frac{\pi^2}{6}(k_{\rm B}T)^2 \frac{dH(E)}{dE}\big|_{E=\mu} + \frac{7\pi^4}{360}(k_{\rm B}T)^4\frac{d^3 H(E)}{dE^3}\big|_{E=\mu} + \cdots \end{eqnarray*}

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$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty (E-\mu)^{2k} \textcolor{red}{\frac{df(E)}{dE}} dE &=& \textcolor{red}{-}\int_{-\infty}^\infty (E-\mu)^{2k} \textcolor{red}{ \frac{1}{k_{\rm B}T}\frac{\exp\left(\frac{E-\mu}{k_{\rm B}T}\right)}{\left(\exp\left(\frac{E-\mu}{k_{\rm B}T}\right)+1\right)^2}}dE\\ \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty (E-\mu)^{2k} \textcolor{red}{\frac{df(E)}{dE}} dE &=& \textcolor{red}{-}\int_{-\infty}^\infty (E-\mu)^{2k} \textcolor{red}{ \frac{1}{k_{\rm B}T}\frac{\exp\left(\frac{E-\mu}{k_{\rm B}T}\right)}{\left(\exp\left(\frac{E-\mu}{k_{\rm B}T}\right)+1\right)^2}}dE\\ \end{eqnarray*}

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$\begin{eqnarray*} &&\cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}= 0\\\\ \Leftrightarrow&& e^{2iz}=-1=e^{(\pi+2n\pi)i}\\\\ \Leftrightarrow&& z=n\pi + \frac{\pi}{2}\quad(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots) \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} &&\cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}= 0\\\\ \Leftrightarrow&& e^{2iz}=-1=e^{(\pi+2n\pi)i}\\\\ \Leftrightarrow&& z=n\pi + \frac{\pi}{2}\quad(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots) \end{eqnarray*}