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\begin{eqnarray*}B_J(x)&=&\frac{1}{3}\Bigl( \frac{2J+1}{2J} \Bigr)^2 \,x -\frac{1}{3}\Bigl( \frac{1}{2J} \Bigr)^2 \,x + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\Bigl[ \left( \frac{2J+1}{2J} \right)^2 - \left( \frac{1}{2J} \right)^2 \Bigr] + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \left( \frac{1}{2J}\right)^2 \Bigl[ (2J+1)^2 - 1 \Bigr]+ O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \frac{1}{4J^2} \, (4J^2 + 4J) + O(x^3) \\ \\&=&\frac{1}{3}\, \frac{1}{4J^2} \, 4J(J+1) + O(x^3) \\ \\&=&\frac{J+1}{3J}+O(x^3)\end{eqnarray*}