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準同型定理

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加群準同型の普遍性について

$\xymatrix{ X \ar[r]^{\mathrm{id}_{X}}_{\sim} \ar[d]_{\pi_{g}} \ar@/_2.5pc/[ddd]_{g} & X \ar[d]^{\pi_{f}} \ar@/^2.5pc/[ddd]^{f} \\ X/{\sim_{g}} \ar[r]^{\exists! \widetilde{\mathrm{id}_{X}}} \ar[d]_{\exists! \tilde{g}}^{\sim} & X/{\sim_{f}} \ar[d]^{\exists! \tilde{f}}_{\sim} \\ g(X) \ar[r]^{\tilde{f} \circ \widetilde{\mathrm{id}_{X}} \circ \widetilde{g^{-1}}} \ar[d]_{ i_{Y}} & f(X) \ar[d]^{ i_{Z}} \\ Y & Z}$

\xymatrix{ X \ar[r]^{\mathrm{id}_{X}}_{\sim} \ar[d]_{\pi_{g}} \ar@/_2.5pc/[ddd]_{g} & X \ar[d]^{\pi_{f}} \ar@/^2.5pc/[ddd]^{f} \\ X/{\sim_{g}} \ar[r]^{\exists! \widetilde{\mathrm{id}_{X}}} \ar[d]_{\exists! \tilde{g}}^{\sim} & X/{\sim_{f}} \ar[d]^{\exists! \tilde{f}}_{\sim} \\ g(X) \ar[r]^{\tilde{f} \circ \widetilde{\mathrm{id}_{X}} \circ \widetilde{g^{-1}}} \ar[d]_{ i_{Y}} & f(X) \ar[d]^{ i_{Z}} \\ Y & Z}