Images of ポアソン方程式

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$\begin{eqnarray*} \nabla^2\phi({\bfr})&=&\int\textcolor{red}{\nabla^2 G(\bfr-\bfr')} \left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=& \int\textcolor{red}{\delta(\bfr-\bfr')}\left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=& -\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} \nabla^2\phi({\bfr})&=&\int\textcolor{red}{\nabla^2 G(\bfr-\bfr')} \left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=& \int\textcolor{red}{\delta(\bfr-\bfr')}\left(-\frac{\rho({\bfr'})}{\varepsilon_0}\right)\,d\bfr'\\\\ &=& -\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

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$\begin{eqnarray*} &&\nabla^2\phi(\bfr)=-\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\\\\ &&\Rightarrow \quad \phi({\bfr})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho({\bfr}')}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\,d{\bfr}' \end{eqnarray*}$

\begin{eqnarray*} &&\nabla^2\phi(\bfr)=-\frac{\rho({\bfr})}{\varepsilon_0}\\\\ &&\Rightarrow \quad \phi({\bfr})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho({\bfr}')}{|{\bfr}-{\bfr}'|}\,d{\bfr}' \end{eqnarray*}

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