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環の直積(pdfファイル:2ページ)

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輪環面（読み）りんかんめん（英語表記）torus

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$\begin{align*} &\left( \cos \frac{2}{b_1}\pi + i \sin \frac{2}{b_1}\pi \right)^{k_1} \left( \cos \frac{2}{b_2}\pi + i \sin \frac{2}{b_2}\pi \right)^{k_2} \\ &=\left( \cos \frac{2 k_1}{b_1}\pi + i \sin \frac{2 k_1}{b_1}\pi \right) \left( \cos \frac{2 k_2}{b_2}\pi + i \sin \frac{2 k_2}{b_2}\pi \right) \\ &=\cos \left( \frac{2 k_1}{b_1} + \frac{2 k_2}{b_2} \right) \pi + i \sin \left( \frac{2 k_1}{b_1} + \frac{2k_2}{b_2}\pi \right) \\ &=\cos \frac{2(k_1 b_2+k_2 b_1)}{b_1 b_2} \pi + i \sin \frac{2(k_1 b_2+ k_2 b_1)}{b_1 b_2} \pi \\ &=\left( \cos \frac{2}{b_1 b_2} \pi + i \sin \frac{2}{b_1 b_2} \pi \right)^{k_1 b_2 + k_2 b_1} \end{align*}$

\begin{align*} &\left( \cos \frac{2}{b_1}\pi + i \sin \frac{2}{b_1}\pi \right)^{k_1} \left( \cos \frac{2}{b_2}\pi + i \sin \frac{2}{b_2}\pi \right)^{k_2} \\ &=\left( \cos \frac{2 k_1}{b_1}\pi + i \sin \frac{2 k_1}{b_1}\pi \right) \left( \cos \frac{2 k_2}{b_2}\pi + i \sin \frac{2 k_2}{b_2}\pi \right) \\ &=\cos \left( \frac{2 k_1}{b_1} + \frac{2 k_2}{b_2} \right) \pi + i \sin \left( \frac{2 k_1}{b_1} + \frac{2k_2}{b_2}\pi \right) \\ &=\cos \frac{2(k_1 b_2+k_2 b_1)}{b_1 b_2} \pi + i \sin \frac{2(k_1 b_2+ k_2 b_1)}{b_1 b_2} \pi \\ &=\left( \cos \frac{2}{b_1 b_2} \pi + i \sin \frac{2}{b_1 b_2} \pi \right)^{k_1 b_2 + k_2 b_1} \end{align*}