位相空間論 - General topology

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Yahoo!知恵袋位相空間論の問題です。
画像は問題とその解説で、解説の6行めあたりに

Aでもない開集合かつ閉集合A∩Uをもち、

という部分がありますが、なぜA∩Uが閉集合になる理由がわかりません。

$トポロジーいろいろトポロジーいろいろ位相空間論における反例と線形順序投稿ナビゲーション$

$線形写像の単射・全射の条件：核・像、基底・次元との関係、証明$

$Takeshi Fukao, Applied Mathematics and Informatics Course, Faculty of Advanced Science and Technology, Ryukoku University$

$吸収集合、散逸系とは：線形力学系を例に$

書籍詳細：解いてみよう位相空間デジタル複製版トップページ書籍雑誌デジタルコンテンツ

位相空間XからRへの実連続関数について、Xがコンパクトのとき関数は常に最大値を持つから、実連続関数f,gについてδ(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|}は距離関数になるという記述について、コンパクトでない集合でδを距離関数にしない例が思い付きません例えばどんなのがありますか？

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