位相空間 - Topological space

位相空間XからRへの実連続関数について、Xがコンパクトのとき関数は常に最大値を持つから、実連続関数f,gについてδ(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|}は距離関数になるという記述について、コンパクトでない集合でδを距離関数にしない例が思い付きません例えばどんなのがありますか？

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Yahoo!知恵袋位相空間論の問題です。
画像は問題とその解説で、解説の6行めあたりに

Aでもない開集合かつ閉集合A∩Uをもち、

という部分がありますが、なぜA∩Uが閉集合になる理由がわかりません。

$トポロジーいろいろトポロジーいろいろ位相空間論における反例と線形順序投稿ナビゲーション$

ウィグナーの位相空間分布関数（英語表記）Wigner's phase space distribution function

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