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$\begin{eqnarray*} ({\rm LHS})&=&(\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\cdot\cdots\cdot (\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\cdot (\lambda_k-\textcolor{blue}{\lambda_1})\, \left|\begin{array}{cccc} 1&\cdots&1&1\\\\ \vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\ \lambda_2^{k-1} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-3} &\lambda_k^{k-1}\\\\ \lambda_2^{k-2} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2} &\lambda_{k}^{k-2} \end{array}\right| \\\\\\ &=&\Pi_{\textcolor{red}{1} \leq i$

\begin{eqnarray*} ({\rm LHS})&=&(\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\cdot\cdots\cdot (\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\cdot (\lambda_k-\textcolor{blue}{\lambda_1})\, \left|\begin{array}{cccc} 1&\cdots&1&1\\\\ \vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\ \lambda_2^{k-1} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-3} &\lambda_k^{k-1}\\\\ \lambda_2^{k-2} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2} &\lambda_{k}^{k-2} \end{array}\right| \\\\\\ &=&\Pi_{\textcolor{red}{1} \leq i < j \leq k} (\lambda_j-\lambda_i) \quad\blacksquare \end{eqnarray*}