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位相空間XからRへの実連続関数について、Xがコンパクトのとき関数は常に最大値を持つから、実連続関数f,gについてδ(f,g)=sup{|f(x)-g(x)|}は距離関数になるという記述について、コンパクトでない集合でδを距離関数にしない例が思い付きません例えばどんなのがありますか?

EchizenBlog-Zwei 「はじめよう位相空間」がとても面白い

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Zさんの感想・レビューZさんの最近の感想・レビューユーザーデータ会員登録(無料)が必要ですナイスした人

Yahoo!知恵袋位相空間論の問題です。
画像は問題とその解説で、解説の6行めあたりに
Aでもない開集合かつ閉集合A∩Uをもち、
という部分がありますが、なぜA∩Uが閉集合になる理由がわかりません。

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Takeshi Fukao, Applied Mathematics and Informatics Course, Faculty of Advanced Science and Technology, Ryukoku University